已知函数f=10x，对于实数m、n、p有f=f+f，f=f+f+f，则p的最大值等于______．

题文

已知函数f（x）=10^x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
则f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，
∵△=t²-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=tt-1=1+1t-1（t≥4），
显然t越大，f（p）越小，
∴当t=4时，f（p）取最大值43，又f（p）=10^p，
∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p_max=lg43=2lg2-lg3．

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解析

tt-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=10x，对于实数m、n.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。