设f是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f=f+f-1，当x＞0时，f＞1，且f=4；求f，f的值；

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得f（3）=f（2）+f（1）-1=4，f（2）=2f（1）-1
∴3f（1）-2=4，即f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=2f（2）-1=5
（2）由（1）可得函数为单调递增的函数
证明如下：设a＞0，则x+a＞x
∵由题意可得，当x＞0时，f（x）＞1
∴f（a）＞1
由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0
∴f（x+a）＞f（x）
由函数的单调性的定义可知函数单调递增
（3）∵f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）
由（2）中函数单调递增且f（4）=5可得|x|x+a²x+a＜5x
当x＞0可得，x²+（a²-5）x+a＜0的解集中的最大整数为2
令g（x）=x²+（a²-5）x+a，则g(3)≥0g(2)≤0
即3a2+a-6≥02a2+a-6≤0解可得-1+736≤a≤1
当x＜0时，x²+（5-a²）x-a＞0的解集中的最大整数为2，此时不符合题意

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解析

g(3)≥0g(2)≤0

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。