已知：函数y=f，x∈R，满足f=2，f=f*f，且f是增函数，证明：f=1；若f*f（x2-

题文

已知：函数y=f（x），x∈R，满足f（1）=2，f（x+y）=f（x）*f（y），且f（x）是增函数，
（1）证明：f（0）=1；
（2）若f（2x）*f（x²-1）≥4成立，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），
解得f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，令x=1，y=0，则有f（1+0）=f（1）×f（0）=0，这与f（1）=2矛盾，故 f（0）=1
（2）由题意f（2x）×f（x²-1）≥4可变为f（x²-1+2x）≥4=2×2=f（1）×f（1）=f（2），
又f（x）是增函数
故有x²-1+2x≥2，整理得x²-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范围是x≥1或x≤-3

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知：函数y=f（x），x∈R，满足f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。