题文
设
,函数
.
试讨论函数
的单调性. 题型：未知 难度：其他题型
答案
①当k=0时，F(x)在区间
上单调递增，F(x)在区间
上单调递减；
②当k<0时，F(x)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减,在区间
上单调递增；③当
时，F(x)在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
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解析
分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。因为
,所以
.
(1)当x<1时，1-x>0，
①当
时，
在
上恒成立，故F(x)在区间
上单调递增；
②当
时，令
，解得
，
且当
时，
；当
时，
故F(x)在区间
上单调递减,在区间
上单调递增；
(2)当x>1时， x-1>0，
①当
时，
在
上恒成立，故F(x)在区间
上单调递减；
②当
时，令
，解得
，
且当
时，
；当
时，
故F(x)在区间
上单调递减,在区间
上单调递增；
综上得，①当k=0时，F(x)在区间
上单调递增，F(x)在区间
上单调递减；
②当k<0时，F(x)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减,在区间
上单调递增；③当
时，F(x)在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
考点
据考高分专家说，试题“设,函数.试讨论函数的单调性......”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
