已知集合M是满足下列性质函数的f的全体，在定义域D内存在x0，使得f=f+f成立．函数f=1x，g=x2是否属

题文

已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的全体，在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=1x，g（x）=x²是否属于集合M？分别说明理由．
（2）若函数f（x）=lgax2+1属于集合M，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）对于函数f（x）=1x，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，
则存在非零实数x₀，使得1x0+1=1x0+1，即x02+x₀+1=0，显然此方程无实数解，
∴f（x）∉M；
函数g（x）=x²，D=R，若g（x）∈M成立，
则有(x0+1)2=x02+1，解得x₀=0，
∴g（x）∈M；
（2）由条件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，
存在实数x₀，使得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，
∴a(x0+1)2+1=ax02+1•a2，
化简得：（a-2）x02+2ax₀+2a-2=0，
当a=2时，x₀=-12，符号题意；
当a≠2时，由△≥0得：4a²-4（a-2）（2a-2）≥0，
即3-

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。