定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0. 求证:.

题文

定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(

);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.
求证:

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明略

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解析

对f(x)+f(y)=f(

)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),
∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.
设－1＜x₁＜x₂＜0,则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(

),
∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0

 ∴

＜0,
于是由②知f(

)>0,
从而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),
故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.
根据奇函数的图像关于原点对称，知
f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.

考点

据考高分专家说，试题“ 定义在(－1，1)上的函数f(x)满足.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。