已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，都有。当时，设函数上的反函数为则的值为A．B．C．D．

题文

已知函数

是定义在R上的偶函数，且对任意

，都有

。当

时，

设函数

上的反函数为

则

的值为（   ）A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

D

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解析

设f^-1（19）=a∈[-2，0]，则f（a）=19，
∵a∈[-2，0]，∴-a∈[0，2]，∴（-a+4）∈[4，6]，
又已知f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（a）=f（-a），
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴f（-a）=f（-a+4），
而当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1，
∴f（-a+4）=2^-a+4+1
∴2^-a+4+1=19，即2^-a+4=18，即-a+4=log₂18，
而log₂18=1+2log₂3，∴-a+4=1+2log₂3，∴a=3-2log₂3．
故选D．
点评：准确理解以上有关定义及性质是解决问题的关键, 利用函数的奇偶性、周期性及反函数，把要求的函数的自变量转化到所给的区间x∈[4，6]，即可计算出要求的值

考点

据考高分专家说，试题“已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。