已知数列{an}：a1=1、a2=2、a3=r且an+3=an+2，与数列{bn}：b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn（n∈N

题文

已知数列{a_n}：a₁=1、a₂=2、a₃=r且a_n+3=a_n+2（n∈N^*），与数列{b_n}：b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．记T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，求r的值；
（2）求T₁₂的值，并求证当n∈N^*时，T_12n=-4n；
（3）已知r＞0，且存在正整数m，使得在T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12中有4项为100．求r的值，并指出哪4项为100． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求得a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4
所以由a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，可得r=73．
（2）因为b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．
a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4…
T₁₂=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b₁₂a₁₂=-4，T_12n=-4n，
用数学归纳法证明：
当n∈Z⁺时，T_12n=-4n．
①当n=1时，T₁₂=a₁-a₃+a₅-a₇+a₉-a₁₁=-4，
等式成立
②假设n=k时等式成立，即T_12k=-4k，
那么当n=k+1时，
T_12（k+1）=T_12k+a_12k+1-a_12k+3+a_12k+5-a_12k+7+a_12k+9-a_12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈Z⁺时，T_12n=-4n．
（3）T_12m=-4m（m≥1）．
当n=12m+1，12m+2时，T_n=4m+1；
当n=12m+3，12m+4时，T_n=-4m+1-r；
当n=12m+5，12m+6时，T_n=4m+5-r；
当n=12m+7，12m+8时，T_n=-4m-r；
当n=12m+9，12m+10时，T_n=4m+4；
当n=12m+11，12m+12时，T_n=-4m-4．
∵4m+1是奇数，-4m+1-r，-4m-r，-4m-4均为负数，
∴这些项均不可能取到100．
∴4m+5-r=4m+4=100，解得m=24，r=1．
此时T₂₉₃，T₂₉₄，T₂₉₇，T₂₉₈为100．

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解析

73

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}：a1=1、a2=2、a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|