已知函数f(x)=x+1-aa-x(x≠a)当f的定义域为[a+12，a+1]时，求f的值域；试问对定义域内的任意x，f+f

题文

已知函数f(x)=x+1-aa-x(x≠a)
（1）当f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；
（2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若12≤a≤32，求g（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f(x)=x+1-aa-x(x≠a)=-1+1a-x．
当 a+12≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-12，-1≤a-x≤-12，-2≤1a-x≤-1，
于是-3≤-1+1a-x≤-2，
即f（x）值域为[-3，-2]．
（2）∵f（2a-x）+f（x）=a-x+1x-a+x+1-aa-x=2(a-x)x-a=-2，
对定义域内的所有x都成立，
∴对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是定值-2．
（3）当a=1时，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）当x≥0时，g(x)=(x+12)2-14
则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）当x≤0时，g(x)=(x-12)2-14
则函数g（x）在（-∞，0]且x≠-1时单调递减，
g（x）_min=g（0）=0
综合得：当x≠-1时，g（x）的最小值是0．

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解析

x+1-aa-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+1-aa-x(x≠.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|