设函数f=x|x-a|+b求证：f为奇函数的充要条件是a2+b2=0．设常数b＜22-3，且对任意x∈[0，1]，f＜0恒成立，求

题文

设函数f（x）=x|x-a|+b
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．
（2）设常数b＜22-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）充分性：若a²+b²=0∴a=b=0
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立．（2分）
必要性：若f（x）为奇函数
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）
（2）由b＜22-3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+bx＜a＜x-bx恒成立
令g（x）=x+bx在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-bx，则h（x）在（0，-b]上单调递减，[-b，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-bx在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°当-1≤b＜22-3时，h（x）=x-bx≥2-b，
∴a＜h_min（x）=2-b，∴1+b＜a＜2-b．（14分）

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x|x-a|+b（1）求.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|