若定义在区间D上的函数y=f对于区间D上任意x1，x2都有不等式12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立，则称函数y=f在区间D上的凸

题文

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：对任意x₁，x₂∈R，当a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（x1+x22）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（x1+x22）²+b（x1+x22）+c]=ax₁²+ax₂²-12a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=12a（x₁-x₂）²             （3分）
∴当a＜0时，f（x₁）+f（x₂）≤2f（x1+x22），即f(x1)+f(x2)2≤f（x1+x22）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．
（2）因为|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，
所以-1≤a+b+c≤1-2≤4a+2b+c≤2-3≤9a+3b+c≤3，
又f（4）=16a+4b+c
设16a+4b+c=x（a+b+c）+y（4a+2b+c）+z（9a+3b+c）
所以x+4y+9z=16x+2y+3z=4x+y+z=1
解得x=1，y=-3，z=3
所以f（4）=f（1）-3f（2）+3f（3）
所以-16≤f（4）≤16
所以f（4）的最大值为16
当a+b+c=14a+2b+c=-29a+3b+c=3取得
解得a=4，b=-15，c=12，
（III）因为p＜m＜n＜q，p+q=m+n，y=f（x）为凸函数，
所以f（p）+f（q）≤2f（p+q）=2f（m+n）
f（m）+f（n））≤2f（m+n）
因为y=f（x）为凸函数，
所以f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|