题文
（文科）已知函数f(x)=13ax3+bx2+2x-1，g(x)=-x2+x+1，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．（1）求实数a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式f（x1）+k＜g（x2）恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（文科）（1）∵g(1)=1=f(1)=13a+b+1⇒a+3b=0．又g'（x）=-2x+1，∴g'（1）=-1．
∵两双曲线在点P处的切线互相垂直，
∴f'（1）=1．
∵f'（x）=ax2+2bx+2，
∴f'（1）=a+2b+2=1，
∴a+3b=0a+2b+1=0⇒a=-3，b=1．
（2）∵f（x）=-x3+x2+2x-1
对任意的x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立，
∴f（x）max+k＜g（x）min（x∈[-1，1]），
∵f'（x）=-3x2+2x+2，
则f'（x）＞0得1-73＜x＜1+73，
∴函数f（x）在[-1，1-73]上递减，在[1-73，1]上递增
而f（-1）=-1，f（1）=1，
∴f（x）max=f（1）=1，
而g(x)=-x2+x+1=-(x-12)2+54
当x∈[-1，1]时，g（x）min=g（-1）=1
故1+k＜-1，
k＜-2，
∴实数k的取值范围是（-∞，-2）．
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“（文科）已知函数f(x)=13ax3+b.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
