对于函数f，若存在x0∈R，使得f=x0，则称x0为函数f的不动点．若函数f=x2+abx-c有且仅有两个不动点0和2

题文

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点．若函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-12．
（1）试求函数f（x）的单调区间，
（2）已知各项不为0的数列{a_n}满足4S_n•f（1an）=1，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和，求证：(1-1an)an+1＜1e＜(1-1an)an
（3）在（2）的前题条件下，设b_n=-1an，T_n表示数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，
∴0+a0-c=04+a2b-c=2，
∴a=0，2b-c=2．
∴f(x)=x2bx+2-2b，
∵f（-2）＜-12，
∴42-4b＜-12，
∴22b-1＞24，
∴0＜2b-1＜4，
∴12＜b＜52，
∵b，c∈N^*，
∴b=1，c=0（舍），或b=2，c=2．
∴f(x)=x22x-2．定义域为x≠1，
∴f′(x)=2x(2x-2)-2x2(2x-2)2=2x2-4x(2x-2)2，
由f′(x)=2x2-4x(2x-2)2＞0，得x＜0，或x＞2，
由f′(x)=2x2-4x(2x-2)2＜0，得0＜x＜2，
∵x≠1，
∴函数f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，1），（1，2）．
（2）∵各项不为0的数列{a_n}满足4S_n•f（1an）=1，
∴4Sn•1an22an-2=4Sn•12an-2an2=1，
∴4Sn=2an-2an2，
∴2Sn=an-an2，
当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12，
两式相减，得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=-1，
当n=1时，a₁=-1，
由a_n=-a_n-1，知a₂=1，不在定义域范围内，应舍去．
故a_n-a_n-1=-1，
∴a_n=-n．
∴(1-1an)an+1＜1e＜(1-1an)an等价于（1+1n）^-（n+1）＜1e＜（1+1n）^-n，
即(1+1n)n＜e＜(1+1n)n+1，
两边取对数后，nln(1+1n)＜1＜(n+1)ln(1+1n)，
即证1n+1＜ln(1+1n)＜1n．
设f（x）=ln（1+x）-x，x＞0
则 f′（x）=11+x-1＜0，
所以 f（x）在（0，+∞）上是减函数，
于是 f（x）＜f（0）=0 即 ln（1+x）＜x．
设g（x）=x1+x-ln（1+x），
则 g′（x）=1(1+x)2-11+x=-x(1+x)2＜0，
所以 g（x）在（0，+∞）上是减函数，于是 g（x）＜g（0）=0，
即x1+x＜ln（1+x）．
∴x1+x＜ln(1+x)＜x，
令x=1n，得1n+1＜ln(1+1n)＜1n．
∴(1-1an)an+1＜1e＜(1-1an)an．
（3）由（2）得，bn=1n，
则Tn=1+12+13+…+1n，
在1n+1＜ln(1+1n)＜1n中，
令n=1，2，3，…，2010，
并将各式相加，得
12+13+…+12011＜ln21+ln32+…+ln20112010＜1+12+13+…+12010，
∴T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

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解析

x2+abx-c

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|