题文
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的极值点．
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．
（3）证明：ln23+ln38+ln415+…+lnnn2-1＜(n+4)(n-1)6（n∈N，n＞1）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=1x-1-k．当k≤0时，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数．
f（x）在（1，+∞）上无极值点．
当 k＞0时，令f′（x）=0，则 x=1+1k． 所以当x∈（1，1+1k ）时，f′（x）=1x-1-k＞11+1k-1-k=0，
∴f（x）在∈（1，1+1k ）上是增函数，
当x∈（1+1k，+∞） 时，f′（x）=1x-1-k＜11+1k-1-k=0，∴f（x）在∈（1+1k，+∞） 上是减函数．
∴x=1+1k 时，f（x）取得极大值．
综上可知，当 k≤0时，f（x）无极值点； 当k＞0时，f（x）有唯一极值点 x=1+1k．
（2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．
故只需考虑k＞0．
由1）知，f（x）max=f（1+1k ）=-lnk，
若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）max=f（1+1k ）=-lnk≤0 即可，
化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）．
3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1．
∴lnn3＜n3-1=（n-1）（n2+n+1）＜（n-1）（n+1）2．
∴lnnn2-1＜n+13，n∈N，n＞1．
∴ln23+ln38+ln415+…+lnnn2-1＜13 （3+4+5+…+n+1）=13×(3+n+1)2（n-1）
=(n+4)(n-1)6，n∈N，n＞1．
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解析
1x-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
