已知函数f=ex-mx，当m=1时，求函数f的最小值：若函数g=f-lnx+x2存在两个零点，求m的取值范围．

题文

已知函数f（x）=e^x-mx，
（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值：
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当m=1时，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，f′（x）＜0，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=ex-lnx+x2x，
令h(x)=ex-lnx+x2x，
则h′(x)=(x-1)ex+x2-1+lnxx2，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）．

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解析

ex-lnx+x2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex-mx，（1）当m.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点