若函数f=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______．

题文

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f′（x）=3x²-3=0
解得x=1或x=-1，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上单调递减；
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上单调递增，
故当x=1时，f（x）取极小值-2+a，当x=-1时，f（x）取极大值2+a，
∵f（x）=x³-3x+a有三个不同零点，
∴-2+a＜02+a＞0，解得-2＜a＜2
∴实数a的取值范围是：（-2，2）．
故答案为：（-2，2）

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解析

-2+a＜02+a＞0

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=x3-3x+a有3个不同.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点