已知函数f=alnx-bx2图象上一点P）处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．求a，b的值；若方程f+m=0在[1e，

题文

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[1e，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x₀，0），求证：g（x）在x₀处的导数g′（x₀）≠0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′（x）=ax-2bx，f′(2)=a2-4b，f（2）=aln2-4b．
∴a2-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h/(x)=2x-2x=2(1-x2)x，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[1e， e]内，
当x∈[1e，1)时，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[1e，e]内有两个不等实根的充要条件是：
h(1e)≤0h(1)＞0h(e) ≤ 0.
即1＜m≤2+2e2．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，g/(x)=2x-2x-k．
假设结论成立，则有：
2lnx1-x12-kx1=0①2lnx2-x22-kx2=0②x1+x2=2x0③2x0-2x0-k=0④
①-②，得2lnx1x2-(x12-x22)-k(x1-x2)=0．
∴k=2lnx1x2x1-x2-2x0．
由④得k=2x0-2x0，
∴lnx1x2x1-x2=1x0
即lnx1x2x1-x2=2x1+x2，即lnx1x2=2x1x2-2x1x2+1．⑤
令t=x1x2，u(t)=lnt-2t-2t+1（0＜t＜1），
则u′(t)=(t-1)2t(t+1)2＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴g'（x₀）≠0．

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=alnx-bx2图象上.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点