已知函数f(x)=ax+1-2a，x＜1x2-ax，x≥1，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f=f成立，则实数a的取值范围是______．

题文

已知函数f(x)=ax+1-2a，x＜1x2-ax，x≥1，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：
①当x≥1时，若f（x）=x² -ax 不是单调的，它的对称轴为x=a2，则有 a2＞1，∴a＞2．
②当x≥1时，若f（x）=x² -ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时a≤2．
当x＜1时，由题意可得f（x）=ax+1-2a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（-∞，0]．
故答案为：（2，+∞）∪（-∞，0]．

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解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+1-2a，x＜1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点