关于x的方程ax2+x+a2+i=0有实根，求a的值及方程的根．

题文

关于x的方程a（1+i）x²+（1+a²i）x+a²+i=0 （a∈R）有实根，求a的值及方程的根． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设x=x₀是原方程的根，则a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0
即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
∴ax02+x0+a2=0 ax02+a2x0+1=0
两式相减可得，（a²-1）x=a²-1
（1）当a²-1≠0时，x₀=1代入原方程可得，a²+a+1=0没有实根
（2）当a²-1=0时，若a=1，则x₀²+x₀+1=0没有实根
若a=-1，则x²-x-1=0，解得x0=1±52
综上可得a=-1，x=1±52

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解析

ax02+x0+a2=0 ax02+a2x0+1=0

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程a（1+i）x2+（1+a2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点