已知二次函数f=ax2+bx+c和一次函数g=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0．求证：两函数的图象交于

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A，B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由y=ax2+bx+cy=-bx消去y，得 ax²+2bx+c=0．
△=4b²-4ac=4（-a-c）²-4ac=4（a²+ac+c²）=4（a+c2）²+3c²．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．
∴34c²＞0，∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点．
（2）设方程ax²+2bx+c=0的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=-2ba，x₁x₂=ca．
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=(-2ba)2-4ca=4b2-4aca2=4(-a-c)2-4aca2
=4[(ca)2+ca+1]=4[(ca+12)2+34]．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，
∴a＞-a-c＞c，解得ca∈（-2，-12）．
∵f(ca)=4[(ca)2+ca+1]的对称轴方程是ca=-12，且当ca∈（-2，-12）时，为减函数，
∴A₁B₁²∈（3，12），故A₁B₁∈（3，23）．

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解析

y=ax2+bx+cy=-bx

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点