设f是定义在区间上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间=x2．求f在Ik

题文

设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I_k表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I₀时，f（x）=x²．
（1）求f（x）在I_k上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有两个不等的实根} 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是以2为周期的函数，
∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．
又∵当x∈I_k时，（x-2k）∈I₀，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
即对k∈Z，当x∈I_k时，f（x）=（x-2k）²．
（2）当k∈Z且x∈I_k时，
利用（1）的结论可得方程（x-2k）²=ax，整理得：x²-（4k+a）+4k²=0．
它的判别式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在区间I_k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足a(a+8k)＞02k-1＜12[4k+a-a(a+8k)]2k+1≥12[4k+a+a(a+8k)]
化简得a(a+8k)＞0，(1)a(a+8k)＜2+a，(2)a(a+8k)≤2-a，(3)
由（1）知a＞0，或a＜-8k．
当a＞0时：因2+a＞2-a，故从（2），（3）
可得a(a+8k)≤2-a，即a(a+8k)≤(2-a)22-a＞0
当a＜-8k时：2+a＜2-8k＜0，
易知a(a+8k)＜2+a无解，
综上所述，a应满足0＜a≤12k+1故所求集合Mk={a|0＜a≤12k+1}

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

a(a+8k)＞02k-1＜12[4k+a-a(a+8k)]2k+1≥12[4k+a+a(a+8k)]

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点