已知f=x3+bx2+cx-b在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性．求c的值；若f的图象上在两点A）、B（

题文

已知f（x）=x³+bx²+cx-b（b＜0）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，在f（x）的图象上是否存在一点M，使得f（x）在点M的切线斜率为2b？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f'（x）=3x²+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x²+2bx=0，∴x1=0，x2=-23b(b＜0)．…（4分）
∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，
∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）
则m=0，n=-23b(b＜0)．…（6分）
又f(0)=-b，f(-23b)=427b3-b
若f（x）在[0，-23b]上存在零点．
∵f（0）=-b＞0，
则f(-23b)=427b3-b≤0．…（7分）
∵b＜0，∴427b2≥1，b2≥274，∴b≤-332．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得x1=0，x2=-23b(b＜0)．
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）
∴2≤-23b≤4，
即-6≤b≤-3．…（10分）
假设存在点M（x₀，y₀）使得f（x）在M处切线斜率为2b，
则f'（x₀）=2b，即3x²₀+2bx₀-2b=0，…（11分）
△=4b²+24b=4（b²+6b）=4（b+3）²-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
当b=-6时，△=0，
由3x02-12x0+12=0得x0=2，
故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=x3+bx2+cx-b（b.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点