证明方程6-3x=2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．

题文

证明方程6-3x=2^x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：设函数使f（x）=2^x+3x-6．∵f（1）=-1＜0，f（2）=4＞0
又∵f（x）是增函数，所以函数f（x）=2^x+3x-6在区间[1，2]有唯一的零点，
则方程6-3x=2^x在区间[1，2]有唯一一个实数解．设该解为x₀，则x₀∈[1，2]
取x₁=1.5，f（1.5）=0.33＞0，f（1）f（1.5）＜0．∴x₀∈（1，1.5）
取x₂=1.25，f（1.25）=0.128＞0，f（1）f（1.25）＜0．
∴x₀∈（1，1.25）
取x₃=1.125，f（1.125）=-0.44＜0，
f（1.125）f（1.25）＜0．∴x₀∈（1.125，1.25）
取x₄=1.1875，f（1.1875）=-0.16＜0，f（1.1875）f（1.25）＜0．
∴x₀∈（1.1875，1.25）∵|1.25-1.1875|=0.0625＜0.1∵可取x₀=1.2
则方程的实数解为x₀=1.2．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“证明方程6-3x=2x在区间[1，2]内.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点