已知函数f=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3．求实数a的值；若函数g=f(x)x+92(x+1)-k

题文

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f(x)x+92(x+1)-k仅有一个零点，求实数k的取值范围．
（Ⅲ）若f（x）＞t（x-1）（t∈Z）对任意x＞1恒成立，求t的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵g(x)=x+xlnxx+92(x+1)-k
=1+lnx+92(x+1)-k(x＞0)，
∴g′(x)=1x-92(x+1)2=(2x-1)(x-2)2x(x+1)2，（x＞0）
令g′（x）=0，解得x=12，或x=2，
列表如下  x （0，12） 12 （12，2） 2（2，+∞）  g′（x）+0 - 0+ g（x）↑ 极大值
4-ln2-k↓  极小值
52+ln2-k↑由于x→0时，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）仅有一个零点，则必须
4-ln2-k＜052+ln2-k＜0，或52+ln2-k＞04-ln2-k＞0，
∴k＞4-ln2，或k＜52+ln2，
∴k∈(-∞，52+ln2)∪(4-ln2，+∞)．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1时恒成立，
即t＜x+xlnx-2x-1在x＞1恒成立，
令p（x）=x+xlnxx-1（x＞1），p′(x)=x-lnx-2(x-1)2，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
则h′(x)=1-1x=x-1x＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，
h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀，且满足x₀∈（3，4），
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴p′(x)=x-lnx-2(x-1)2＜0，
函数p（x）在（1，x₀）上单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴p′(x)=x-lnx-2(x-1)2＞0，
函数p（x）在（1，x₀）上单调递增，
∴p(x)min=p(x0)=x0(1+lnx0)x0-1，
∵h（x₀）=0，即x₀-lnx₀-2=0，
∴lnx₀=x₀-2．
∴p(x)min=p(x0)=x0(1+lnx0)x0-1=x₀∈（3，4），
∴t＜p(x)min=p(x0)=x0(1+lnx0)x0-1=x₀∈（3，4），
故t的最大值为3．

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解析

x+xlnxx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点