已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)+1(x＞0)，把函数g=f-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和Sn，则

题文

已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)+1(x＞0)，把函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S_n，则S₁₀=（ ）A．45B．55C．2¹⁰-1D．2⁹-1 题型：未知 难度：其他题型

答案

当x≤0时，g（x）=f（x）-x+1=x，故a₁=0
当0＜x≤1时，有-1＜x-1≤0，则f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-1+1=2x-2，g（x）=f（x）-x+1=x-1，故a₂=1
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-2+1=2x-3，g（x）=f（x）-x+1=x-2，故a₃=2
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-3+1=2x-4，g（x）=f（x）-x+1=x-3，故a₄=3
…
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=n+1，
故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列
故S₁₀=10(10-1)2=45
故选A

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解析

10(10-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点