已知函数g(x)=13ax3+12x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底数若函数g在点）处的切线与直线2x-y+1=

题文

已知函数g(x)=13ax3+12x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底数
（I）若函数g（x）在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，求实数a的值；
（II）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（III）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意得，g′（x）=ax²+x，
∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，
∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-12，即g′（1）=a+1=-12，
解得a=-32，
（II）由（I）得，f（x）=g′（x）e^x=（ax²+x）e^x，
则f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，
∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立，
即ax²+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足g(1)≥0g(-1)≥0，即3a+2≥0-a≥0，得-23≤a＜0，
综上可知，a的取值范围是[-23，0]，
（III）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等价于ex-2x-1=0，令h（x）=ex-2x-1，
因为h′（x）=ex+2x2＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-13＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数g(x)=13ax3+12x2+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点