已知函数f=alnx+bx2图象上点P）处的切线方程为2x-y-3=0．求函数y=f的解析式；函数g=f+m

题文

已知函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[1e，2]上恰有两解，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）求导函数可得f′(x)=ax+2bx（x＞0）
∵函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴a+2b=2b=-1
∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x²；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞0），则g′(x)=4x-2x（x＞0）
∴当x∈[1e，2)时，g′（x）＞0；当x∈(2，2]时，g′（x）＜0；
∴函数在[1e，2)上单调增，在(2，2]上单调减
∵方程g（x）=0在[1e，2]上恰有两解，
∴g(1e)≤0，g(2)＞0，g(2)≤0
∴-4-1e2+m-ln4≤0-2+m＞04ln2-4+m-ln4≤0
解得2＜m≤4-2ln2

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=alnx+bx2图象上.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点