已知定义在R上的函数f=ax3+bx+c，当x=-1时，f取得极大值3，f=1．求f的解析式；已知实数t能

题文

已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M．请判断函数g(x)=f(x)x(x∈M)的零点个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（0）=1得c=1．
又当x=-1时，f（x）取得极大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)=3ax2+b，f′(-1)=3a+b=0f(-1)=-a-b+1=3，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1时取得极值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)=f(x)x=x2+1x-3，g′(x)=2x-1x2，
∴当x∈M时，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上递减．
又g(-2)=12，g(-1)=-3
∴函数g(x)=f(x)x，x∈M的零点有且仅有1个．

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解析

f′(-1)=3a+b=0f(-1)=-a-b+1=3

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）=ax3+b.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点