设函数f=x3-4x+a，0＜a＜2．若f的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则A．x1＞-1B．x2＜0C．x2＞0D．x3

题文

设函数f（x）=x³-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则（ ）A．x₁＞-1B．x₂＜0C．x₂＞0D．x₃＞2 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0可得 x=±233．
∵当x＜-233时，f′（x）＞0；在（-233，233）上，f′（x）＜0；在（233，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（∞，-233）上是增函数，在（-233，233）上是减函数，在（233，+∞）上是增函数．
故f（-233）是极大值，f（233）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，可得 x₁＜-233，-233＜x₂＜233，x₃＞233．
根据f（0）=a＞0，且f（233）=a-1639＜0，可得 233＞x₂＞0．
故选C．

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解析

233

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x3-4x+a，0＜a＜.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点