已知a＞0且a≠1，函数f=loga，g(x)=loga11-x，记F=2f+g求函数F的定义域D及其零点；

题文

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga11-x，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga11-x（a＞0且a≠1）
由x+1＞01-x＞0，可解得-1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（-1，1）
令F（x）=0，则2loga(x+1)+loga11-x=0…（*）  
方程变为loga(x+1)2=loga(1-x)，即（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，经检验x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0
即函数F（x）的零点为0．
（2）方程可化为m=2loga(x+1)+loga11-x
=logax2+2x+11-x=loga(1-x+41-x-4)，
故am=1-x+41-x-4，设1-x=t∈（0，1]
函数y=t+4t在区间（0，1]上是减函数
当t=1时，此时x=0，y_min=5，所以a^m≥1
①若a＞1，由a^m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a^m≥1可解得m≤0，
故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0

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解析

11-x

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点