已知函数f=elnx+kx若f在x=x0处取得极值，且x0是f的一个零点，求k的值；若k∈[

题文

已知函数f（x）=elnx+kx（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x=x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在区间[1e，1]上的最大值；
（III）设函数g（x）=f（x）-kx在区间（1e，e）上是减函数，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知f'（x₀）=0，即ex0-kx02=0，（2分）
∴x0=ke，又f（x₀）=0，即elnke+e=0，∴k=1．（4分）
（II）f′(x)=ex-kx2=e(x-ke)x2，
∵1≤k≤e，∴1e≤k≤1，（6分）
由此得x∈(1e，ke)时，f（x）单调递减；
x∈(ke，1)时，f（x）单调递增
故fmax(x)∈{f(1e)，f(1)}（8分）
又f(1e)=ek-e，f(1)=k
当ek-e＞k，即ee-1＜k≤e时，
fmax(x)=f(1e)=ek-e
当ek-e≤k，即1≤k≤ee-1时，
f_max（x）=f（1）=k（10分）
（III）g′(x)=f′(x)-k=ex-kx2-k，
∵g（x）在(1e，e)在是减函数，
∴g'（x）≤0在x∈(1e，e)上恒成立
即ex-kx2-k≤0在x∈(1e，e)上恒成立，
∴k≥ex+1x在x∈(1e，e)上恒成立，（12分）
又x+1x≥2x•1x=2当且仅当x=1时等号成立．
∴ex+1x≤e2，∴k∈[e2，+∞)（14分）

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解析

ex0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=elnx+kx（其中e.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点