已知函数f=ln+x2-ax当a=1时，求函数f在x=1处的切线方程；当y=f在x=12处取

题文

已知函数f（x）=ln（12+12ax）+x²-ax （a为常数，a＞0）
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当y=f（x）在x=12处取得极值时，若关于x的方程f（x）-b=0在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[12，1]，使不等式f（x₀）＞m（a²+2a-3）成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，f(x)=ln(12+12x)+x2-x，
∴f′(x)=11+x+2x-1，于是f′(1)=32，
又f（1）=0，即切点为（1，0），
∴切线方程为y=32(x-1)；
（2）f′(x)=a1+ax+2x-a，f′(12)=a1+12a+1-a=0，即a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2，
此时，f′(x)=2x(2x-1)1+2x，∴x∈[0，12]上递减，[12，2]上递增，
又f(0)=ln12，f(12)=-34，f(2)=ln52，
∴-34＜b≤ln12；
（3）f′（x）=a1+ax+2x-a=2ax2+(2-a2)x1+ax=x[2ax-(a2-2)]1+ax，
∵1＜a＜2，∴a2-22a-12=(a-2)(a+1)2a＜0，即a2-22a＜12，
∴f（x）在[12，2]上递增，∴f（x）_max=f（1）=ln（12+12a）+1-a，
问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（12+12a）+1-a＞m（a²+2a-3）成立，
设h（a）=ln（12+12a）+1-a-m（a²+2a-3）（1＜a＜2），
则h′（a）=11+a-1-2ma-2m=-2ma2-(4m+1)a-2ma+1，
又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤-18，
设g（a）=-2ma²-（4m+1）a-2m，对称轴a=-1-14m≤1，
又-2m＞0，g（1）=-8m-1≥0，
所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（12+12a）+1-a＞m（a²+2a-3），
于是，对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[12，1]，使不等式f（x₀）＞m（a²+2a-3）成立，
m≤-18．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（12+12ax）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点