已知函数f=ex-1，g(x)=x+x，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．证明：函数h=f-g在区间上有零点；

题文

已知函数f（x）=e^x-1，g(x)=x+x，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．
（1）证明：函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（1，2）上有零点；
（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；
（3）若数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=a（a＞0）（a为常数），f（a_n+1）=g（a_n），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有a_n≤M． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-x-x，得：
h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2-2＞0，
所以函数h（x）在区间（1，2）上有零点．
（2）由（1）得：h（x）=e^x-1-x-x，
由g(x)=x+x知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，
因此h（x）至少有两个零点．
所以h′(x)=ex-12x-12-1，记φ（x）=ex-12x-12-1，则φ′(x)=ex+14x-32．
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上单调递增，则φ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点．h（x）有且只有两个零点．
所以，方程f（x）=g（x）根的个数为2．
（3）记h（x）的正零点为x₀，即ex0-1=x0+x0．
（1）当a＜x₀时，由a₁=a，即a₁＜x₀．而a23=a1+a1＜x0+x0=ex0-1，因此a₂＜x₀，由此猜测：a_n＜x₀．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁＜x₀显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有a_k＜x₀成立，则当n=k+1时，由ak+13=ak+ak＜x0+x0=ex0-1知，a_k+1＜x₀，因此，当n=k+1时，a_k+1＜x₀成立．
故对任意的n∈N^*，a_n＜x₀成立．
（2）当a≥x₀时，由（1）知，h（x）在（x₀，+∞）上单调递增．则h（a）≥h（x₀）=0，即a3≥a+a．从而a23=a1+a1=a+a≤a3，即a₂≤a，由此猜测：a_n≤a．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁≤a显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有a_k≤a成立，则当n=k+1时，由ak+13=ak+ak≤a+a≤a3知，a_k+1≤a，因此，当n=k+1时，a_k+1≤a成立．
故对任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
综上所述，存在常数M=max{x₀，a}，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

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解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex-1，g(x)=x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点