已知函数f=2x2-10x，，问是否存在自然数m，使得方程f(x)+37x=0在区间内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出m的值

题文

已知函数f（x）=2x²-10x，（x∈R），问是否存在自然数m，使得方程f(x)+37x=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

依题意，问题等价于方程2x³-10x²+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，
令h（x）=2x³-10x²+37，
h′（x）=6x²-20x=6x（x-103），
当x∈（0，103）时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，103）上单调递减；
当x∈（103，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在区间（103，+∞）上单调递增；…4分
由于h（3）=1＞0，h（103）=-127＜0，h（4）=5＞0，…7分
所以方程h（x）=0在（3，103），（103，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+∞）内没有实数根…10分
所以存在唯一自然数m=3使得方程f（x）+37x=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解．…12分

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解析

103

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2-10x，（x∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点