已知函数f=ax3+bx2+x，其导函数为f′．当a=13时，若不等式f′(x)＞-13对任意x∈R恒成

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（Ⅰ）当a=13时，若不等式f′(x)＞-13对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=13时，f′(x)=x2+2bx+b-13
若使不等式f′(x)＞-13对任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范围为：（0，1）
（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b
又在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，∴2a+3b=2
又函数f（x）为奇函数，∴b=0，∴a=1，
∴f（x）=x³-x
（ii）求导函数可得f′（x）=3x²-1
令f′（x）＞0，可得x＜-33或x＞33，令f′（x）＜0，可得-33＜x＜33
∴函数的单调增区间为（-∞，-33），（33，+∞），减区间为(-33，33)．
当t∈(-1，-33)时，若使关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使f(-1)≤-14t≤f(t)，∴t∈(-32，-33)
当t∈(-33，0)时，若使关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使f(-1)=-14t或-14t=f(-33)，此时无解
当t∈[0，33]时，若使关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-14t=f(-33)或f(33)≤-14t＜0，∴t∈(0，33]
当t∈[33，1)时，若使关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-14t=f(-33)或f(t)≤-14t＜0，∴t∈(33，32]
当t∈[1，233)时，若使关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-14t=f(-33)或-14t=f(33)，此时无解
当t∈[233，+∞)时，若使关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-14t=f(33)或f(-33)＜-14t≤f(t)，∴t∈(233，839]
综上，可知实数t的取值范围为：(-32，-33)∪(0，32]∪(233，839]

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点