已知向量a=(sinx2，3cosx2)，b=(cosx2，cosx2)，设f=a•b．求函数f在[0，2π]上的零点；设△ABC的内角

题文

已知向量a=(sinx2，3cosx2)，b=(cosx2，cosx2)，设f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的零点；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(A)=3，b=2，sinA=2sinC，求边c的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f(x)=a•b=sinx2•cosx2+3cos2x2=12sinx+32cosx+32=sin(x+π3)+32．
由sin(x+π3)+32=0，得，x+π3=2kπ+4π3，或x+π3=2kπ-π3，k∈Z
由x∈[0，2π]，得x=π或x=4π3．故函数f（x）的零点为 π 和 4π3．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+π3)+32=3，A∈（0，π），得A=π3．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，由a²=b²+c²-2bccosA，得4c2=22+c2-2•2ccosπ3，
即  3c²+2c-4=0，∵c＞0，∴c=13-13．

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解析

x2

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(sinx2，3cosx2).....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点