题文
设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）若a≥1e，试研究函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R，∴g（x）=f′（x）=lnx+ax，x＞0．
∴g′(x)=1x-ax2=x-ax2，
①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值．
②当a＞0时，x=a，
当x∈（0，a）时，g（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，g（x）单调递增，
∴g（x）的极小值g（a）=lna+1，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的极小值g（a）=lna+1≥ln1e+1=0，
∴g（x）min≥0，即f′（x）≥0恒成立．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（1e）=（1e+a）ln1e -1e+a
=-1e-a-1e+a=-2e＜0，
f（e）=（e+a）lne-e+a
=e+a-e+a=2a≥2e＞0，
∴f（x）在（1e，e）中有一个零点，
∴函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数为1个．
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解析
ax考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
