设函数f(x)=lnx-12ax2-6x当a=b=12时，求函数f的单调区间；令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0＜x≤3），其

题文

设函数f(x)=lnx-12ax2-6x
（I）当a=b=12时，求函数f（x）的单调区间；
（II）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围；
（III）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a=b=12时，f（x）=lnx-14x²-12x，
f′（x）=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x．（2分）
令f^′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f^′（x）＞，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f^′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）F（x）=lnx+ax，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=x0-ax20≤12，，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（-12，x₀²+x₀）max，x₀∈（0，3]（7分）
当x₀=1时，-12x₀²+x₀取得最大值 12．所以a≥12．（9分）
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+lnxx，
设g（x）=1+lnxx，则g′（x）=1-lnxx2．
令g^′（x）＞0，得0＜x＜e；
g^′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e²]上是减函数，
g（1）=1，g（e²）=1+lne2e2=1+2e2，g（e）=1+1e，
所以m=1+1e，或1≤m＜1+2e2．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=lnx-12ax2-6x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点