已知方程x3+a=4x当a=0时，求方程x3+a=4x的各个实根；若方程x3+a=4x的各个根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi，4xi

题文

已知方程 x3+a=4x
（1）当a=0时，求方程x3+a=4x的各个实根；
（2）若方程x3+a=4x的各个根x1，x 2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi，4xi)(i=1，2，…，k)均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=0时，x3=4x
解得x1=2或x2=-2…（2分）
（2）x3+a=4x，设f(x)=x3+a，g(x)=4x，
函数g(x)=4x与y=x的图象相交于两点（2，2），（-2，-2）
函数y=x³与y=x的图象相交于两点（1，1），（-1，-1）…（4分）
①当a=0时，点(2，22)，(-2，-22)的直线y=x的异侧…（5分）
②当a＜0时，要使f（x）=x³+a与g(x)=4x的两个交点在同直线y=x的右侧，
需满足42＞23+a4-2＞-23+a解得a＜-6；…（8分）
当a＞0时，要使f（x）=x³+a与g(x)=4x的两个交点在同直线y=x的左侧
需满足42＜23+a4-2＜-23+a解得a＞6
所以满足条件的a的取值范围是（-∞，-6∪（6，+∞）…（10分）

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解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“已知方程x3+a=4x（1）当a=0时，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点