题文
函数f（x）=13x3-kx，其中实数k为常数．（I） 当k=4时，求函数的单调区间；
（II） 若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）因为f′（x）=x2-k…（2分）当k=4时，f′（x）=x2-4，令f′（x）=x2-4=0，所以x=-2或x=2
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（-∞，-2）-2（-2，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）增极大值减极小值增…（4分）
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞）
单调递减区间是（-2，2）…（6分）
（II）令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点…（7分）
因为g′（x）=f′（x）=x2-k
当k=0时，g（x）=x3，所以g（x）只有一个零点0 …（8分）
当k＜0时，g′（x）=x2-k＞0对x∈R成立，
所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）
当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x2-k
=0，解得x=k或x=-k…（10分）
所以情况如下表：
x（-∞，-k）-k（-k，k）k（k，+∞）g′（x）+0-0+g（x）增极大值减极小值增g（x）有且仅有一个零点等价于g（-k）＜0…（11分）
即g（-k）=23kk＜0，解得0＜k＜94…（12分）
综上所述，k的取值范围是k＜94…（13分）
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解析
x（-∞，-2）-2（-2，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）增极大值减极小值增考点
据考高分专家说，试题“函数f（x）=13x3-kx，其中实数k.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
