已知f=ax2+bx+c，g=f[f]①若f无零点，则g＞0对∀x∈R成立；②若f有且只有一个零点，则g必有

题文

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对∀x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解．
其中真命题的个数是______个． 题型：未知 难度：其他题型

答案

已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
对于①，若取a=-1，b=0，c=-1，则f（x）=-x²-1，无零点，但g（x）=-（-x²-1）²-1＜0对∀x∈R成立，故①错；
②若f（x）=x²，有且只有一个零点，则g（x）=（x²）²=x⁴没有两个零点，故②错；
③若取a=1，b=1，c=316，方程f（x）=0有两个不等实根-14，-34，而方程g（x）=[f（x）]²+[f（x）]+316⇔f（x）=-14或f（x）=-34，无解，故③错．
∴其中真命题的个数是0．
故答案为 0

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解析

316

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点