若关于x的方程4x+⋅2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围．

题文

若关于x的方程4^x+（a+3）⋅2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵x∈[1，2]，令t=2^x∈[2，4]
关于x的方程4^x+（a+3）⋅2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内
则可得，t²+（a+3）t+5=0（*）至少有一个实根在区间[2，4]内
设f（t）=t²+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一个零点
△=（a+3）²-20
（1）若（*）只有一个根，则△=（a+3）²-20=0可得a=-3±25
当a=-3+25时，方程的根t=-5∉[2，4]舍去
当a=-3-25时，方程的根t=5∈[2，4]满足条件
（2）若（*）有两个跟，不妨设为t₁＜t₂，，则△=（a+3）²-20＞0，可得a＞=-3+25或a＜-3-25
①若两根t₁，t₂∈[2，4]，则2＜-a+32＜4f(2)=2a+15≥0f(4)=4a+33≥0 解可得，-152≤a≤-7，又a＞=-3+25或a＜-3-25
从而有-152≤a＜-3-25满足条件
②若t₁∈[2，4]，t₂∉[2，4]，则-a+32≥4f(2)=2a+15≥0f(4)=4a+33≤0，解可得，a不存在
③若t₁∉[2，4]，t₂∈[1，4]，则-a+32≤2f(2)=2a+15≤0f(4)=4a+33≥0，解可得，a不存在
综上可得，-152≤a≤-3-25

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解析

5

考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程4x+（a+3）⋅2x+5.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点