已知函数f(x)=x3-3x2+1，g(x)=(x-12)2+1(x＞0)-(x+3)2+1(x≤0)，则方程g[f]-a=0的实数根最多有

题文

已知函数f(x)=x3-3x2+1，g(x)=(x-12)2+1(x＞0)-(x+3)2+1(x≤0)，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有（ ）个．A．6个B．4个C．7个D．8个 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f(x)=x3-3x2+1，g(x)=(x-12)2+1(x＞0)-(x+3)2+1(x≤0)，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=-3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=-3或x=12时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）=-3，此时方程有2个根，或f（x）=12，此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）∈（-4，-3），此时方程有1个根，或f（x）∈（-3，-2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]-a=0，则：f（x）∈（0，12），或f（x）∈（12，+∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．

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解析

(x-12)2+1(x＞0)-(x+3)2+1(x≤0)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x3-3x2+1，g(.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点