已知函数f=x-ln在x=1处取得极值．求实数a的值；若关于x的方程f+2x=x2+b在[12，2]上恰有两个不相等的实

题文

（理） 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=1-1x+a，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x²+b    
∴x-lnx+2x=x²+b，∴x²-3x+lnx+b=0
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）=(2x-1)(x-1)x
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表
 x （0，12） 12 （12，1） 1 （1，2） 2 g′（x）+ 0- 0+ g（x）↗ 极大值↘ 极小值 ↗ b-2+ln2 ∴当x=1时，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（12）=b-54-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根
∴g(12)≥0g(1)＜0g(2)≥0，∴b-54-ln2≥0b-2＜0b-2+ln2≥0，∴54+ln2≤b≤2

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解析

1x+a

考点

据考高分专家说，试题“（理）已知函数f（x）=x-ln（x+a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点