已知f=ex-ax讨论函数f的单调区间；若函数f在区间上有两个零点，求a的取值范围；A（xl

题文

已知f（x）=e^x-ax（e=2.718…）
（I）讨论函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅲ） A（x_l，y_l），B（x₂，y₂）是f（x）的图象上任意两点，且x₁＜x₂，若总存在x_o∈R，使得f′(xo)=y1-y2x1-x2，求证：x_o＞x_l． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
所以f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
（II）∵函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，
∴由（Ⅰ）知a＞0，且f(0)=1＞0f(lna)=elna-alna＜0f(2)=e2-2a＞0，
解得e＜a＜e22．
故a的取值范围是（e，e22）．
（Ⅲ）证明：f′（x₀）=y1-y2x1-x2
⇔ex0-a=ex1-ex2-a(x1-x2)x1-x2
⇔ex0=ex1-ex2x1-x2  ，
等式两边同时除以ex1，得ex0ex1=1-ex2-x1x1-x2，
设t=x₂-x₁，则t＞0，
构造函数g（t）=1-et-t=et-1t．
则g′(t)=et•t-(et-1)t2=et(t-1)+1t2＞0在t＞1时恒成立，
所以g（t）在t＞1时恒成立，
所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，
所以ex0ex1＞1，故x₀＞x₁．

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解析

f(0)=1＞0f(lna)=elna-alna＜0f(2)=e2-2a＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ex-ax（e=2.718.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点