已知函数f=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f=tf有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是A．(98，

题文

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）A．(98，54)B．(1，2524)C．(1，98)D．(1，54) 题型：未知 难度：其他题型

答案

当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（2分）
则当a∈（2，3]时，由f（x）=x2+(2-a)x，x≥a-x2+(2+a)x，x＜a，
得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=a-22＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=a+22＜a，
则f（x）在x∈（-∞，a+22]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，(a+2)24]，
f（x）在x∈[a+22，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，(a+2)24]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，(a+2)24），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，(a+2)28a）即可，
令g（a）=(a+2)28a=18（a+4a+4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
∴（g（a））max=g（3）=2524，
故实数t的取值范围为（1，2524）；…（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，2524）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，2524）．…（17分）
故选B．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

x2+(2-a)x，x≥a-x2+(2+a)x，x＜a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点