设a＞1，则当y=ax与y=logax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=______．

题文

设a＞1，则当y=a^x与y=log_ax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，所以要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，y₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，
所以ax0=x0，且函数y=a^x的导数为y′=f′(x0)=ax0lna=1，
即ax0=x0ax0lna=1，所以ax0=x01lna=x0，
则a1lna=1lna，两边取对数得ln⁡a1ln⁡a=ln⁡1ln⁡a=1，
所以解得e=1lna，所以lna=1e，即a=e1e，此时x₀=e．
所以lnlna═ln（1e）=-1．
故答案为：-1．

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解析

ax0=x0ax0lna=1

考点

据考高分专家说，试题“设a＞1，则当y=ax与y=logax两.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点