已知x=1是函数f(x)=12x2-6x+mlnx的一个极值点．求m；若直线y=n与函数y=f的图象有3个交点，求n的取值范围；设g（x

题文

已知x=1是函数f(x)=12x2-6x+mlnx的一个极值点．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若直线y=n与函数y=f（x）的图象有3个交点，求n的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=（-5-a）lnx+12x2+（6-b）x+2（a＞0），G（x）=f（x）+g（x），若G（x）=0有两个不同零点x₁，x₂，且x0=x1+x22，试探究G′（x₀）值的符号． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f′（x）x-6+mx，
所以f′（1）=1-6+m=0，解得m=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=12x2-6x+5lnx（x＞0），
所以f′（x）=x-6+5x=x2-6x+5x=(x-1)(x-5)x，
当x∈（1，5）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（5，+∞）或x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）的极大值为f（1）=12-6=-112，
极小值为f（5）=12×25-30+5ln5=-352+5ln5，
又x→0时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
结合图象可知：当且仅当f（5）＜n＜f（1）时，直线y=n与函数y=f（x）的图象有3个交点，
∴-352+5ln5＜n＜-112；
（III）G′（x₀）的符号为正．证明如下：
因为G（x）=f（x）+g（x）=12x2-6x+5lnx+（-5-a）lnx+12x2+（6-b）x+2=x²+2-alnx-bx有两个零点x₁，x₂，
所以有x12+2-alnx1-bx1=0x22+2-alnx2-bx2=0，
两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b（x₂-x₁）=0，即x2+x1-b=a(lnx2-lnx1)x2-x1，
于是G′(x0)=2x0-ax0-b=(x1+x2-b)-2ax1+x2
=a(lnx2-lnx1)x2-x1-2ax1+x2=ax2-x1[lnx2x1-2(x2-x1)x1+x2]=ax2-x1[lnx2x1-2(x2x1-1)1+x2x1]，
①，令x2x1=t，则t＞1，且G′（x₀）=ax2-x1（lnt-2(t-1)1+t）．
设u（t）=lnt-2(t-1)1+t（t＞1），
则u′（t）=1t-4(1+t)2=(1-t)2t(1+t)2＞0，
则u（t）=lnt-2(t-1)1+t在（1，+∞）上为增函数．
而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-2(t-1)1+t＞0．
又因为a＞0，x₂-x₁＞0，所以G′（x₀）＞0．
②当0＜x₂＜x₁时，同理可得：G′（x₀）＞0．
综上所述：G′（x₀）的符号为正．

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解析

mx

考点

据考高分专家说，试题“已知x=1是函数f(x)=12x2-6x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点