已知函数f=ex+ax，g=exlnx．若曲线y=f在x=1处的切线也是抛物线y2=4的切线，求a的值；

题文

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y²=4（x-1）的切线，求a的值；
（2）当a=-1时，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x） 在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x₀的个数；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=e^x+a，把x=1代入得：f′（1）=e+a，
把x=1代入f（x）得：f（1）=e+a，所以切点坐标为（1，e+a），
则在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1）即：y=（e+a）x，
与y²=4（x-1）联立，消去得（e+a）²x²-4x+4=0，
由△=0知，a=1-e或a=-1-e；
（2）当a=-1时，由（2）知[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1，
设h（x）=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，
则h′(x)=exlnx-ex•1x-ex+1=ex(lnx+1x-1)+1，
假设存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
x₀即为方程的解，（13分）
令h′（x）=1得：ex(lnx+1x-1)=0，因为e^x＞0，所以lnx+1x-1=0．
令φ(x)=lnx+1x-1，则φ′(x)=1x-1x2=x-1x2，
当0＜x＜1是φ′（x）＜0，当x＞1时φ′（x）＞0，
所以φ(x)=lnx+1x-1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，故方程ex(lnx+1x-1)=0有唯一解为1，
所以存在符合条件的x₀，且仅有一个x₀=1．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点