已知函数f=2ex，a∈R．求f的单调区间；对任意的x∈≤4e恒成立，求a的取值范围；求证：

题文

已知函数f（x）=（x-a）²e^x，a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x∈（-∞，1]，不等式f（x）≤4e恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程f′(x)ex=12(t-2)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=2（x-a）e^x+（x-a）²e^x，
=（x-a）[x-（a-2）]e^x．…2分
令f′（x）=0，得x₁=a-2，x₂=a．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：
x（-∞，a-2）a-2（a-2，a）a（a，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），
单调递减区间是（a-2，a）．…6分
（2）由（Ⅰ）得[f（x）]_极大=f（a-2）=4e^a-2．
①当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），
由a≤1f(a-2)=4ea-2≤4e，f（1）=（a-1）•2e≤4e，解得-1≤a≤1；
②当a-2≤1＜a，即1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2），
此时f（a-2）=4e^a-2≤4e³-2=4e；
③当a-2＞1，即a＞3时，f（1）=（a-1）2e＞4e，f（x）≤4e不恒成立．
综上，a的取值范围是[-1，3]．…12分
（III）∵f′（x）=x（x-2）e^x，f′(x)ex=12(t-2)2，
∴x 2-2x=12(t-2)²，
令g（x）=x2-2x-12(t-2)²，
从而问题转化为证明当2＜t＜6时，
函数g(x)=x2-2x-12(t-2)²在[-2，t]与x轴有两个不同的交点，
∵g（-2）＞0，g（t）＞0，g（0）＜0，
∴g（x）=0在[-2，t]上有解，且有两解．
所以，当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程f′(x)ex=12(t-2)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解．（15分）

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解析

x（-∞，a-2）a-2（a-2，a）a（a，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-a）2ex，a∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点